第一部分，Ｔ１。

ｑＣＮｐｑ，意思是在Ｔ１中]ＣＮｐｑ应当代替ｑ。

由此代替所产生的断定命题为了节省篇幅而省略了。

它将是以下形式：（１）ＣＣｐＣＮｐｑＣＮｐｑｒＣｐｒ第二部分，ＣＴ３－Ｔ４，表明了这个省略了的断定命题是怎样构造的，使得分离规则可以应用于它这一点成为显然。

断定命题（１）以Ｃ开始，接着是公理Ｔ３作为它的前件，和断定命题Ｔ４

作为后件。

所以，我们可以把Ｔ４，分离出来作为一个新的断定命题。

在Ｔ５之前的导出行作同样的理解。

斜线（）

是替换的记]号，短线（—）是分离的记号。

几乎所有以后的推导都是以相同的方式进行的。

当一个人想要从公理Ｔ１－Ｔ３推导出交换律ＣＣｐＣｑｒＣCｑＣｐｒ，或者甚至推出简化律ＣｐＣｑｐ，那么，他在进行这样的证明时，必须非常熟练。

因此，我将说明一个容易的方法来验证我们系统中的表达式而不用从公理来推导它们。

这个方法

-- 130

８１１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

是美国逻辑学家查尔士Ｓ皮尔士在１８５年左右发明的。

它W基于所谓二值原则（ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ

ｂｉｖａｌｅｎｃｅ）

，这就是把每一个命题看作或是真的或是假的，也就是说每一个命题具有两个可能的真值中的一个也仅仅一个：真或假。

这个原则一定不要与排中律相混淆，根据排中律，两个矛盾命题中的一个必定是真的。

二值原则曾被斯多亚派，特别是克里西普斯当作逻辑的基础来陈述①。

所有演绎理论的函项都是真值函项，亦即，它们的真假仅仅依靠它们的变元的真假。

让我们用０表示常假命题，用１表示常真命题。

我们可以用以下方式定义否定：

Ｎ０＝１与Ｎ１＝０这个意思是说：假命题的否定与真命题的意思是一样的（或简言之，是真的）

，而真命题的否定是假的。

对于蕴涵式我们有以下四条定义：

Ｃ０＝１，Ｃ０１＝１，Ｃ１０＝０，Ｃ１＝１。

这个意思是：一个蕴涵式仅当其前件真而后件假时，它才是假的；在所有其它情况下都是真的。

这是蕴涵式的最古老的定义，曾经由麦加拉的菲罗陈述并为斯多亚派采用②。

对于合取

①西塞罗，《学院研究前篇》ｉ。

９５，“辩论术的基础乃是所有的陈述（他们称之为α‘ιDωμα）或者是真的，或者是假的”

；《论命运》２１“这样，克里西普斯集\中全力于这个论证，即所有α‘ιDωμα或者是真的或者是假的”。

在斯多亚派的术语\中，α‘ιDωμα的意思是“命题”而不是“公理”。

\②塞克斯都恩披里可，《反数学家》ｖｉ。

１３，“菲罗说蕴涵式成为真的，当W其并非前件真而后件假时，所以蕴涵式本身在三种情况下是真的，而在一种情况下是假的。”

-- 131

２４。量　　词A ９１

式我们有四个明显的等式：

Ｋ０＝０，Ｋ０１＝０，Ｋ１０＝０，Ｋ１＝１。

一个合取式只有当它的变元都真时才是真的；在所有其它情况下它都是假的。

现在，如果我们要验证演绎理论的一个有意义的表达式，它包含函子Ｃ，Ｎ和Ｋ的全部或者其中的某些，我们就要用符号０与１的所有可能的排列去代替在这个表达式中出现的各个变项，并将这样得到的公式根据上面给出的等式加以推演。

如果在推演之后所有的公式最后都得出１，那么这个表达式就是真的或者是一个断定命题；如果其中之任一公式最后得出０，这个表达式就是假的。

让我们以易位律ＣＣｐｑＣＮｑＮｐ作为第一类的例子；我们得到：对于ｐ０，ｑ０：Ｃ０ＣＮ０Ｎ０＝Ｃ１Ｃ１＝Ｃ１＝１，]对于ｐ０，ｑ１：Ｃ０１ＣＮ１Ｎ０＝Ｃ１Ｃ０１＝Ｃ１＝１，]对于ｐ１

ｑ０：Ｃ１０ＣＮ０Ｎ１＝Ｃ０Ｃ１０＝Ｃ０＝１，]对于ｐ１

ｑ１：Ｃ１ＣＮ１Ｎ１＝Ｃ１Ｃ０＝Ｃ１＝１。

] ]因为对于所有的替换而言最后得出的都是１，所以易位律是我们系统的断定命题。

让我们举出表达式ＣＫｐＮｑｑ作为第二类的例子。

只要试一试一个替换就够了：

ｐ１，ｑ０：ＣＫ１Ｎ０＝ＣＫ１０＝Ｃ１０＝０。

]这个替换最后得出了０，所以表达式ＣＫｐＮｑｑ是假的。

在亚里士多德三段论系统中作为辅助前提使用的所有演绎理论的断定命题，我们都可以用同样的方法加以检查。

-- 132

０２１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

２４。量词A亚里士多德没有量词的明确观念并且没有在他的著作中使用它们；因而我们不能把它们引入他的三段论系统。

但如我们所已经看到的，在他的系统中有两点，如果我们应用量词来解释的话，我们就能较好地理解它们。

全称量词与所谓“三段论的必然性”相联系，存在量词或特称量词与显示法证明相联系。

现在，我将把在第１９节述说的、用存在量词来作的证明以及在第５节提到的依赖全称量词的论证翻译为符号。

我用大写的希腊字母表示量词，用Ⅱ表示全称量词，而用后表示特称或存在量词。

Ⅱ可以读作“对于所有而言”

，^而可以读作“对于有些而言”或“有”

；例如ｃＫＡｃｂＡｃａ^的意思用语言说出来就是：“有一个ｃ使得所有ｃ是ｂ并且所有ｃ是ａ”

，或者更简短地说：“对于有些ｃ而言，所有ｃ是ｂ并且所有ｃ是ａ”。

每一个带量词的表达式，例如ｃＫＡｃｂＡｃａ，^包含三个部分：第一部分，在我们的例子中就是，总是一个^量词；第二部分，在这里就是ｃ，总是一个用前面的量词约束着的变项；第三部分，在这里就是ＫＡｃｂＡｃａ，总是一个命题表达式，它包含着恰好被量词当作自由变项约束起来了的变项。

由于把ｃ放在ＫＡｃｂＡｃａ之前，最后这个公式中的自由^变项ｃ就变成被约束的了。

我们可以简单地说：（第一部^分）约束ｃ（第二部分）于ＫＡｃｂＡｃａ（第三部分）之中。

存在量词的规则已经在第１９节中陈述过了。

在各导出行中，我用１表示允许我们把置于一个真蕴涵式的前件之前^ X的规则，并且２表示允许我们把置于一个真蕴涵式的后件^ X

-- 133

２４。量　　词A １２１

之前的规则。

以下的推导将是易于了解的。

因为它们都是第１９节中用文字作出的推导的翻译，相应的断定命题带有相同的番号（ｒｕｎｉｎｇ

ｎｕｍｂｅｒ）

，并且用相应的小写字母作为变项以代替大写字母。

Ｉ前提换位的证明：设定为真而不用证明的断定命题：（１）ＣＩａｂｃＫＡｃｂＡｃａ^（２）ＣｃＫＡｃｂＡｃａＩａｂ。

^断定命题（１）和（２）能用作Ⅰ前提的定义。

（３）ＣＫｐｑＫｑｐ（合取的交换律）

（３）ｐＡｃｂ，ｑＡｃａ×（４）

]（４）ＣＫＡｃｂＡｃａＫＡｃａＡｃｂ（４）２ｃ×（５）

^（５）ＣＫＡｃｂＡｃａｃＫＡｃａＡｃｂ^（５）１ｃ×（６）

^（６）ＣｃＫＡｃｂＡｃａｃＫＡｃａＡｃｂ^Ｔ１。

ＣｐｑＣｑｒＣｐｒ（假言三段论定律）

ｐＩａｂ，ｑｃＫＡｃｂＡｃａ，ｒｃＫＡｃａＡｃｂ×Ｃ] ^ ^（１）—Ｃ（６）—（７）

：（７）ＣＩａｂｃＫＡｃａＡｃｂ^（２）ｂａ，ａｂ×（８）

]（８）ＣｃＫＡｃａＡｃｂＩｂａ^Ｔ１。

ｐＩａｂ，ｑｃＫＡｃａＡｃｂ，ｒＩｂａ×Ｃ（７）—Ｃ] ^（８）—（９）

-- 134

２１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

（９）ＣＩａｂＩｂａ这些推导行表明，（４）与（８）仅用替换而从其它断定命题得到，而（７）与（９）乃用替换与两次分离而得到。

读者可按这种方式自己试作Ｄａｒａｐｔｉ式的证明，它是容易的。

Ｂｏｃａｒｄｏ式的证明（第１９节所用的变项Ｐ、Ｒ和Ｓ必须改换字母，因为相应的小写字母ｐ，ｒ和ｓ是用以表示命题变项的，把ｐ改写为ｄ，Ｒ改为ａ，Ｓ改为ｂ）

不加证明而设定的断定命题：（１５）ＣＯｂｄｃＫＡｃｂＥｃｄ^两个三段论取作前提：（１６）ＣＫＡｃｂＡｂａＡｃａ（Ｂａｒｂａｒａ）

（１７）ＣＫＡｃａＥｃｄＯａｄ（Ｆｅｌａｐｔｏｎ）

ＣＫｐｑｒＣＫｒｓｔＣＫｐｑｓｔ这就是人们认为由亚里士多德发现的“综合定理”。

ｐＡｃｂ，ｑＡｂａ，ｒＡｃａ，ｓＥｃｄ，ｔＯａｄ×Ｃ]（１６）—Ｃ（１７）—（１８）

（１８）ＣＫＡｃｂＡｂａＥｃｄＯａｄＴ７。

ＣＫｐｑｒｓＣＫｐｒＣｑｓ（辅助断定命题）

ｐＡｃｄ，ｑＡｂａ，ｒＥｃｄ，ｓＯａｄ×Ｃ（１８）—]（１９）

（１９）ＣＫＡｃｂＥｃｄＣＡｂａＯａｄ（１９）１ｃ×（２０）

^（２０）ＣｃＫＡｃｂＥｃｄＣＡｂａＯａｄ^

-- 135

２４。量　　词A ３２１

ＣｐｑＣｑｒＣｐｒＴ１。

ｐＯｂｄ，ｑｃＫＡｃｂＥｃｄ，ｒＣＡｂａＯａｄ×Ｃ] ^（１５）—Ｃ（２０）—（２１）

（２１）ＣＯｂｄＣＡｂａＯａｄ这就是Ｂｏｃａｒｄｏ式的蕴涵形式。

如果我们希望有这个式的通常的合取形式，我们必须应用所谓输入律（ｌａｗ

ｉｍｐｏｒCｔａｔｉｏｎ）

：Ｔ８。

ＣｐＣｑｒＣＫｐｑｒ于（２１）

，我们得到：

ｐＯｂｄ，ｑＡｂａ，ｒＯａｄ×Ｃ（２１）—（２）

]（２）ＣＫＯｂｄＡｂａＯａｄ（Ｂｏｃａｒｄｏ）。

用所谓输出律（ｌａｗ

ｅｘｐｏｒｔａｔｉｏｎ）

ＣＫｐｑｒＣｐＣｑｒ。

（它是输入律的转换）

，我们可以从Ｂｏｃａｒｄｏ式的合取形式倒退回去得到它的蕴涵形式。

全称量词的规则与第１９节陈述的特称量词的规则是相似的。

全称量词能够无条件地放在真蕴涵式的前件的前面，以约束出现于前件中的自由变项。

只有满足这样的条件，即在后件中被约束的变项不在前件中作为自由变项出现时，才可以在真蕴涵式的后件之前加上全称量词。

我用１，表示这个规则_的头一条，用２表示第二条。

_从以上全称量词的原始规则，得到两条导出规则：第一，（从规则２及简化定律）

一个真表达式，在约束出现于其中的_自由变项时，允许把全称量词置于它的前面；第二，（从规则１及命题的同一律）

，允许消掉位于真表达式之前的全称X

-- 136

４２１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

这些规则怎样可以导出，我将用Ⅰ前提的换位律为例来加以说明。

从换位律：（９）ＣＩａｂＩｂａ就得到量化了的表达式（２６）ａｂＣＩａｂＩｂａ`而从量化了的表达式（２６）又得到非量化的换位律（９）。

首先，从（９）到（２６）

Ｔ１０。

ＣｐＣｑｐ（简化定律）

Ｔ１０。

ｐＣＩａｂＩｂａ×Ｃ（９）—（２３）

]（２３）ＣｑＣＩａｂＩｂａ应用规则２于这个断定命题以约束ｂ并随后约束ａ，因为ｂ_与ａ都不在前件中出现：（２３）２ｂ×（２４）

`（２４）ＣｑｂＣＩａｂＩｂａ`（２４）２ａ×（２５）

`（２５）ＣｑａｂＣＩａｂＩｂａ`（２５）ｑＣｐＣｑ×ＣＴ１０－（２６）

]（２６）ａｂＣＩａｂＩｂａ`其次：从（２６）到（９）。

Ｔ５Ｃｐｐ（同一律）

ｐＣＩａｂＩｂａ×（２７）

]（２７）ＣＣＩａｂＩｂａＣＩａｂＩｂａ我们应用规则１于这个断定命题以约束ｂ并随后约束ａ：_（２７）１ｂ×（２８）

-- 137

２５。三段论系统的基本要素A ５２１

（２８）ＣｂＣＩａｂＩｂａＣＩａｂＩｂａ`（２８）１ａ×（２９）

`（２９）ＣａｂＣＩａｂＩｂａＣＩａｂＩｂａ`（２９）×Ｃ（２６）—（９）

（９）ＣＩａｂＩｂａ亚里士多德断定：“如果有些ａ是ｂ，那么，有些ｂ应是ａ就是必然的”

，依我看，“就是必然的”这表达词只能有这个意思：要找到变项ａ和ｂ的那样的值，它会确证前件而不能确证后件，那是不可能的。

换句话说，那就是指“对于所有ａ与所有ｂ而言，如果有些ａ是ｂ，则有些ｂ是ａ。”这就是我们的量化的断定命题（２６）。

这个断定命题与非量化的换位律“如果有些ａ是ｂ，则有些ｂ是ａ”

（它不包含必然性的记号）

是等值的，这是已经证明了的。

由于三段论的必然性是与全称量词等价的，所以它可以被省略，因为一个全称量词在真公式之前是可以省略的。

２５。三段论系统的基本要素A每一个公理化的演绎系统都以三项基本要素为基础：原始词项，公理，和推论规则。

我从对断定的表达式而言的基本要素开始，对排斥的表达式而言的基本要素将于以后给出。

我取常项Ａ和Ｉ为原始词项，用它们来定义其它两个常项Ｅ和Ｏ：

Ｅａｂ＝ＮＩａｂ

Ｏａｂ＝ＮＡａｂ。

为了把证明缩短我将使用下面的两条推论规则来代替上述定

-- 138

６２１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

义：规则ＲＥ：ＮＩ在任何地方均可用Ｅ去替换，反之亦然。

规则ＲＯ：ＮＡ在任何地方均可用Ｏ去替换，反之亦然。

当作公理来断定的这个系统的四条断定命题就是两条同一律和Ｂａｒｂａｒａ式及Ｄａｔｉｓｉ式：１。

Ａａ２。

Ｉａ３。

ＣＫＡｂｃＡａｂＡａｃ（Ｂａｒｂａｒａ）

ＣＫＡｂｃＩｂａＩａｃ（Ｄａｔｉｓｉ）。

除了规则ＲＥ与ＲＯ之外，我采用以下两条对于断定的表达式的推论规则：（ａ）代入规则：如果ａ是这一系统的一个断定的表达式，那么，用正确的代入从α得出的任何表达式也是一个断定的表达式。

唯一正确的代入是对词项变项ａ，ｂ，ｃ，代以其它的词项变项，如以ｂ代ａ。

（ｂ）分离规则：如果Ｃαβ与α都是这系统的断定的表达式，那么β也是断定的表达式。

我采取带有被定义的函子Ｋ的演绎理论的Ｃ—Ｎ系统，作为辅助理论。

命题变项可以代之以三段论的命题表达式，如Ａａｂ，Ｉａｃ，ＫＥｂｃＡａｂ，等等。

在所有以后的证明中（并且也对排斥的表达式）我将只用下面十四条用罗马数字指明的断定命题：Ⅰ。

ＣｐＣｑｐ（简化定律）

ＣｑｒＣｐｑＣｐｒ（假言三段论定律、第二个形式）

ＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ（分配律）

-- 139

２５。三段论系统的基本要素A ７２１

ＣｐＣＮｐｑ（邓斯司各脱定律）

ＣＮｐｐ（克拉维乌斯定律）

ＣｐｑＣＮｑＮｐ（易位律）

ＣＫｐｑｒＣｐＣｑｒ（输出律）

ＣｐＣＫｐｑｒＣｑｒⅨ。

ＣｓｐＣＫｐｑｒＣＫｓｑｒⅩ。

ＣＫｐｑｒＣｓｑＣＫｐｓｒⅪ。

ＣｒｓＣＫｐｑｒＣＫｑｐｓＸＩ。

ＣＫｐｑｒＣＫｐＮｒＮｑＸＩ。

ＣＫｐｑｒＣＫＮｒｑＮｐＸＩＶ。

ＣＫｐＮｑＮｒＣＫｐｒｑ断定命题Ⅷ是输出律的一个形式，断定命题Ⅸ—Ⅺ都是复合的假言三段论定律，而Ⅻ—是复杂的易位律。

所有这些，用第２３节所说的０—１方法，都是易于验证的。

断定命题Ⅳ、Ⅴ与Ⅱ、Ⅲ一起给出全部Ｃ—Ｎ系统，但Ⅳ、Ⅴ只是对排斥的表达式的证明才是需要的。

公理１—４的系统是一致的，也就是说是无矛盾的。

无矛盾性的最容易的证明是把词项变项当作命题变项，以及把函项Ａ和Ｉ定义为常真（即令Ａａｂ＝Ｉａｂ＝ＫＣａＣｂ）

而作出的。

于是公理１—４作为演绎理论的断定命题都是真的，而且已知这演绎理论是无矛盾的，所以三段论系统也是无矛盾的。

我们系统的所有公理都是彼此独立的。

这一点的证明可以用演绎理论范围内的解释来作出。

在后面的解释中，词项变项作为命题变项处理。

公理１的独立性：取Ｋ代替Ａ，取Ｃ代替Ｉ，公理１就不

-- 140

８２１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

能确证了，因为Ａａ＝Ｋａ，而Ｋａａ在ａ０时，得出０。

如同用]０—１方法所能看出的那样，其它公理均可确证。

公理２的独立性：取Ｃ代替Ａ，与Ｋ代替Ｉ，公理２就不能确证了，因为Ｉａ＝Ｋａ。

其它公理均可确证。

公理４的独立性：取Ｃ代替Ａ与Ｉ，公理４就不能确证了，因为ＣＫＡｂｃＩｂａＩａｃ＝ＣＫＣｂｃＣｂａＣａｃ在ｂ０，ａ１，ｃ０时，它] ] ]得出０其它均可确证。

公理３的独立性：在只有０与１二值的演绎理论的基础上证明这条公理的独立性是不可能的。

我们必须引入第三个真值，令其为２，它可看作是代表真，亦即１的另一个符号。

对于第２３节所作出的Ｃ，Ｎ和Ｋ的诸等值式，我们还要加上下面这些公式：Ｃ０２＝Ｃ１２＝Ｃ２１＝Ｃ２＝１。

Ｃ２０＝０，Ｎ２＝０，Ｋ０２＝Ｋ２０＝０，Ｋ１２＝Ｋ２１＝Ｋ２＝１。

在这些条件下，所有Ｃ—Ｎ系统的断定命题都可确证，这能很容易地表明。

让我们现在把Ｉａｂ定义为常真的函项，亦即对于ａ与ｂ的所有的值而言，Ｉａｂ＝１，而把Ａａｂ定义为具有以下诸值的函项：Ａａ＝１，Ａ０１＝Ａ１２＝１，以及Ａ０２＝０（其余均无关）。

公理１，２与４都可确证，但从公理３用代入ｂ１，ｃ２，ａ０我们得]到：ＣＫＡ１２Ａ０１Ａ０２＝ＣＫ１０＝Ｃ１０＝０。

用在自然数域的解释来作独立性的证明也是可能的。

例如，我们要证明公理３独立于其余公理，我们能够把Ａａｂ定义为ａ＋１ｂ，而把Ｉａｂ定义为ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ，Ｉａｂ是常真的，因而，

-- 141

２６。三段论的断定命题的推导A ９２１

公理２与４确证了，公理１也确证了，因为ａ＋１总是不同于ａ的。

但公理３，即“如果ｂ＋１ｃ并且ａ＋１ｂ，则ａ＋１Ｃ”

a就不能确证。

取３替ａ，２替ｂ，以及４替ｃ，则前提将会是真的，而结论是假的。

从以上的独立性证明得出：没有三段论的单个的公理或“原则”。

１—４这四条公理可以机械地用“并且”

这个字联结成为一个命题，但是它们在这个没有有机联系的合取式中，仍然保留着差别而并不代表一个单个的观念。

２６。三段论的断定命题的推导A用我们的推论规则以及借助于演绎理论从公理１—４我们能够引出亚里士多德逻辑的所有断定命题。

我希望在作了前面几节的解释之后，以后的证明就会是完全可以理解的。

在所有三段论的式中，大项用ｃ表示，中项用ｂ表示，小项用ａ表示。

大前提首先陈述，以便易于将公式与各式的传统名称相比较①。

Ａ。换位定律Ⅶ。

ｐＡｂｃ，ｑＩｂａ，ｒＩａｃ×Ｃ４—５] ] ]５。

ＣＡｂｃＣＩｂａＩａｃ５。

ｂａ，ｃａ，ａｂ×Ｃ１—６]①在１９２９年出版的我的波兰文教科书《数理逻辑初步》（Ｅｌｅｍｅｎｔｓ

ｍａｔｈｅ－ｍａｔｉｃａｌｏｇｉｃ）

（见第６２页，注①）中，我第一次表明已知的三段论的断定命题怎样可以从公理１—４形式地推出（第１８０—１９０页）。

在上述教科书中说明的方法，由Ｉ。

波亨斯基教授在他的论文“论直言三段论”

中稍作修改后加以采纳。

见《多明尼卡研究》（Ｄｏｍｉｎｉｃａｎ

ｓｔｕｄｉｅｓ）卷ｉ，牛津１９４８年版。

-- 142

０３１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

ＣＩａｂＩｂａ（Ｉ前提的换位律）

ｐＡｂｃ，ｑＩｂａ，ｒＩａｃ×Ｃ５７] C７。

ＣＩｂａＣＡｂｃＩａｃ７。

ｂａ，ｃｂ×Ｃ２—８]８。

ＣＡａｂＩａｂ（肯定前提的从属律）

ｑＩａｂ，ｒＩｂａ×Ｃ６—９] ]９。

ＣｐＩａｂＣｐＩｂａ９。

ｐＡａｂ×Ｃ８—１０]１０。

ＣＡａｂＩｂａ（Ａ前提的换位律）

ａｂ，ｂａ×１]１。

ＣＩｂａＩａｂⅥ。

ｐＩｂａ，ｑＩａｂ×Ｃ１—１２] ]１２。

ＣＮＩａｂＮＩｂａ１２。