第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统

２。符号系统的说明A这一章并不属于逻辑史。

它的目的是根据现代形式逻辑的要求，但与亚里士多德本人所陈述的观念密切联系，构造一个非模态三段论的系统。

现代形式逻辑是严格地形式化的。

为了得到一个精确的形式化理论，使用一套为此目的而发明的符号系统，比起使用有着自己的语法规律的普通语言要方便得多。

所以，我必须从这样一套符号系统的说明开始。

由于亚里士多德的三段论系统包括着命题逻辑的最基本部分（即演绎理论）

，我将同时说明这两个理论系统的符号表示法。

在这两个理论系统中，都有变项和常项出现。

变项由小写拉丁字母表示，常项由大写拉丁字母表示。

我用起首的字母ａ，ｂ，ｃ，ｄ，…，表示亚里士多德逻辑的词项变项（ｔｅｒｍｖａｒｉCａｂｌｅｓ）。

这些词项变项以普遍词项作为它的值，如“人”或“动物”。

我用大写字母Ａ，Ｅ，Ｉ，Ｏ表示亚里士多德逻辑的常项（中世纪的逻辑学家已经在这个意义上使用这些符号）。

借助于这两类字母，我构成亚里士多德逻辑的四个函项，书写时把常项置于变项之前：

-- 124

２１１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

Ａａｂ表示　所有ａ是ｂ或ｂ属于所有ａ，Ｅａｂ表示　没有ａ是ｂ或ｂ属于无一ａ，Ｉａｂ表示　有些ａ是ｂ或ｂ属于有些ａ，Ｏａｂ表示　有些ａ不是ｂ或ｂ不属于有些ａ。

常项Ａ，Ｅ，Ｉ，Ｏ都叫函子，ａ和ｂ叫做它们的变元（ａｒｇｕｍｅｎｔｓ）。

所有亚里士多德的三段论都是由彼此相联系的这四种函项借助于“如果”和“并且”等词而组成。

“如果”

、“并且”

等词也表示函子，但它是与亚里士多德逻辑常项不同的另一类：它们的变元不是词项表达词（ｔｅｒｍ－ｅｘｐｒｅｓｉｏｎ）

，即具体词项或词项变项，而是命题表达式（ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ

ｅｘCｐｒｅｓｉｏｎ）

，即是像“所有人都是动物”那样的命题，像“Ａａｂ”那样的命题函项或命题变项。

我用ｐ，ｑ，ｒ，ｓ，…，表示命题变项，用Ｃ表示函子“如果”

，用Ｋ表示函子“并且”。

表达式Ｃｐｑ即是“如果ｐ，则ｑ”的意思（“则”可以省去）

，并且叫做以ｐ为前件，ｑ为后件的“蕴涵式”。

Ｃ并不属于前件，它仅仅把前后件联系起来。

表达式Ｋｐｑ即是“ｐ并且ｑ”

的意思，并称为“合取式”。

在有些证明中我们还会遇到命题逻辑的第三个函子，即命题的否定。

它是一个变元的函子，用Ｎ表示。

要把函项Ｎｐ翻译为英语或任何其它现代语言都是困难的，因为没有与命题否定相当的单个的字眼①。

我们只得用一种绕弯子的方式说“ｐ不是真的”

（ｉｔ－ｉｓ－ｎｏｔ－ｔｒｕｅ－ｔｈａｔ

ｐ）或“不是ｐ那种情况”

（ｉｔ－ｉｓ－ｎｏｔ－ｔｈｅ－ｃａｓｅ－ｔｈａｔ

为了简便起见，我采用表达式“非ｐ”

（ｎｏｔ－ｐ）。

①D斯多亚派用一个词‘ι（即“非”

，“不”。

——译者注）

表示命题的否定。

J F L

-- 125

２。符号系统的说明A ３１

我的表示法的原则是将函子写在变元之前，用这种办法，我能够不用括弧。

我发明的、并从１９２９年起在我的逻辑论文中使用的这一套不用括弧的符号①，可用于数学，同样也可用于逻辑。

加法的结合律在原来的表示法中是这样写的：（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）

，而且不能不用括弧来陈述。

然而如果你把函子＋写在它的变元之前，你得到：

（ａ＋ｂ）＋ｃ＝＋＋ａｂｃ以及ａ＋（ｂ＋ｃ）＝＋ａ＋ｂｃ。

结合律现在就可以不用括号而写出了：＋＋ａｂｃ＝＋ａ＋ｂｃ。

现在，我要解释一下有些用这种符号表示法写出的表达式。

一个三段论的符号表达式是易于了解的。

以Ｂａｒｂａｒａ式为例：如果所有ｂ是ｃ并且所有ａ是ｂ，则所有ａ是ｃ。

用符号写成：ＣＫＡｂｃ

Ａａｃ前提Ａｂｃ和Ａａｂ的合取式，即ＫＡｂｃ

Ａａｂ，是公式的前件，结论Ａａｃ是它的后件。

有些演绎理论的表达式是很复杂的。

如假言三段论如果（如果ｐ，则ｑ）

，那么［如果（如果ｑ，则ｒ）则（如果ｐ，则ｒ）

］的符号表达式写成：

①例如，见卢卡西维茨与塔斯基：“关于命题演算的研究”

，《华沙科学与文学学会会刊》，ｘｉ卷（１９３０年）

，第Ⅲ类，第３１—３２页。

-- 126

４１１第四章　用符号形式表达的亚里士多德系统

Ｃｐｒ。

为了了解这个公式的结构，你们必须记住：Ｃ是直接在Ｃ之后的两个命题变元的函子。

这两个命题变元与Ｃ一起构成一个新的复杂命题表达式。