第二部分第4节

6、三角形的篇章 [三角形章节]的功能 尼罗河年年泛滥，却给埃及带来了适宜农作物生长的肥沃的土地和三角形。 和三角形有什么关系呢? 这是因为每次治好河水泛滥后，就要重新开始土地的测量及划分。那时为了测量直角，使用分出12等份的绳子，各边的比例为3:4:5，然后用三个人拉住绳子，做成直角三角形。 要说三角形的智力题我感觉和做几何差不多。然而在几何和三角形的智力题里，即使使用同样的图形、同样的立体，但是所采用的方法在根本上是有差异的。 几何是用对图形的感觉和思考力来解的，但智力题是凭着对图形的感觉（这一点相同）、直觉能力和想象力来解的。用灵活的想象力和瞬间的一个灵感，就找到了意想不到的解决问题的方法。这真是培养这些能力的难得的好教材。 1、有多少个平行四边形? 15分 问题 在下图当中含有多少个平行四边形? (图略) 提示 经常有计算漏下和重复的。请注意平行四边形的大小和方向。 解题 有多少个平行四边形? 根据平行四边形的大小和方向调整。假设最小的平行四边形的面积为1， 1、面积为1的 如右图，有三种样式。

由于各自有6个，所以 3×6=18 2、面积为2的 共有六种样式。由于各自有3个，所以 6×3=18 3、面积为3的 共有六种样式。由于各自有1个，所以 6×1=6 4、面积为4的 共有三种样式。由于各自有1个，所以 1×3=3 以上合计18+18+6+3=45 答案 45个平行四边形。 2、折过来的角 15分 问题 把正三角形的纸如图那样折回来时，角?的度数是多少度? 提示 折过来的部分的三角形和折回来部分的三角形是全等的。这是当然的啦。 解题 折过来的角 三角形GEH、三角形HBF各角的度数如图所示。由于三角形CDF和三角形DEF是全等三角形。所以角DFC的度数是角EFC的一半。因为角EFC等于 180度-28度=152度，所以，角DFC的 度数为76度。 答案 76度。 小知识

三角形的内角之和是180度。 那么我们想想看，普通n角形的内角之和是多少度呢?由于无论是什么样的四边形都可 以分成两个三角形。所以，四边形的内角和是 180度×2=360度。五角形可以分3个、六角形 分4个三角形。由于普通的n角形可以分成(n-2)个三角形，所以n角形的内角之和等于 180度x(n-2)(但是n大于等于3) (图略) 3、三角关系 30分 问题 如图所示，在并排三个正方形内画三个三角形。这时，在角p、角q、角r之间会成为什么 样的关系? (图略) 提示 很明显，角r=45度。 解题 三角关系 如图所示(图略)，和EH对称排列三个正方形，画三个三角形。 角IBE是直角(90度-角q+角q)，并且IB边和BE边长度相同，所以三角形IBE是等边直角三 角形。 因此 角p+角q=45度 另外 因为角r=45度 所以 角p+角q=角r 答案 角p+角q=角r 小知识

阿拉伯的数字家萨必德·伊本·克莱(836～901)，由于对毕达哥拉斯的“ 勾股定理”只适用于直角三角形有不同见解， 所以，为了所有的三角形都能适用，他尝试着将其一般化。 在不是直角三角形的三角形ABC上，从顶点A画线B'和C'至底边BC上，使角AB'B和角AC'C各自等于角BAC。 于是 (算式省略) 因为 三角形BAC、三角形BB'A、三角形CC'A是相似三角形，所以 BC:AC:AB=AC:CC':AC' =AB:AB':BB' 在这里 (算式省略) 根据 (算式省略) 并且 (算式省略) 根据 (算式省略) 把两个算式相加足以证明了阿拉伯数字家的论点。 (图略) 提高能力 毕达哥拉斯三角形 直角三角形的时候，根据勾股定理，算式1成立。 (算式省略)。。。。。。1 把像算式(算式省略)这样的三个边长都是整数的直角三角形叫毕达哥拉斯三角形。试着做一 做，看看怎样把毕达哥拉斯三角形的三个边(a，b，c)代入公式，求出结果。

把1的两个边用b的平方来除的话，算式为 (算式省略) 因此 (算式省略) 在这里设 -- + -- = -- -- + -- = -- (相乘时得1。m是大于n的整数) 根据(前式)－(后式)得出 (算式省略) a是整数时，b=2mn， 所以把毕达哥拉斯三角形的三个边(a，b，c)代入公式(m是大于n的整数)，即(算式省略) (例) a 3 5 15 7 21 35 9 45 11 63 b 4 12 8 24 20 12 40 28 60 16 斜边 5 13 17 25 29 37 41 53 61 65

4、爬在圆筒里的虫子 15分 问题 在高10cm的圆筒底部有一条小虫，我们假设这条小虫沿着与圆筒表面成30度角的一条直 线往上面爬行。 请问爬到上面要多少cm? 提示 和圆筒的半径没有关系。 解题 爬在圆筒里的虫子 我们可以考虑成小虫爬在高10cm 、角度为30度的直角三角形的斜边AB上面。 AB=10×2=20cm (图略) 答案 20cm 小知识

如果不是圆柱、而是[高10cm的圆锥]的情形时是怎样的呢? 只要是以30度的角度在一条直线上行进，就和圆柱的情况一样。 5、封闭四边形 30分 问题 在平行四边形ABCD外部取任意一点P。三角形ABP和三角形DCP的面积之差是多少平方cm呢? (图略) 提示 请参考平行四边形面积的求法。 解题 封闭四边形 如下图所示，把三角形ABP的高设为H+h、三角形DCP的高设为h，那么 三角形ABP的面积=底边ABx高(H+h)除2 三角形DCP的面积=底边CDx高h除2 =底边ABx高h除2 因此，两个三角形的面积之差是 三角形ABP的面积-三角形DCP的面积 =底边ABx高(H+h)除2-底边ABx高h除2 =底边ABx高H除2 由于底边ABx高H等于平行四边形ABCD的面积，所以 三角形ABP的面积-三角形DCP的面积 =底边ABx高H除2 =(算式省略) (图略) 6、星形角之和 30分 问题 求星形尖端的角度之和。 (图略) 提示 请参考三角形的两个内角和等于另一角的外角。

(图略) 解题 星形角之和 如图所示，现在我们把星形尖端角的度数设为角a、角b、角c、角d、角e。 (图略) 我们如果注意到三角形BGD的内角角b、角d的另一角的外角的大小等于角a+角d，并且三角形CEF的内角角c、角e的另一角的外角的大小等于角c+角e。那么三角形AFG的内角和用下列算式可以表示。 (算式省略) 答案 180度 7、摸壁竞赛 30分 问题 从点A出发到X、Y的墙壁上摸一下墙，然后跑回终点B，比赛看谁跑得快。 怎样跑最先能到终点呢?而且，最近的距离是多少米? (图略) 提示 可以考虑从终点B往回跑跑看。 解题 摸壁竞赛 我们可以考虑以Y线为中轴，找出点B的对称点B'、再以X的延长线为中轴找出点B'的对 称点B"。 首先，从点A开始跑，到摸着墙壁X时是向B"的方向跑的，在点P处摸到墙壁X。 然后，从点P开始跑，到摸着墙壁Y时是向B'的方向跑的，在点Q处摸到墙壁Y。最后，从点Q朝着终点B跑。 结果跑的距离和从点A到点B"的距离相同。这是最短的距离。

这个距离的长度根据三平 方定理可以得出是1300米。 (图略) 答案 1300米