第二部分第2节

6、牧草是边吃边长的 30分 问题 这是牛顿(1642～1727)想出来的问题。 把9头牛放牧在2英亩的牧场上，16天把牧草吃光。又把18头牛放牧在3英亩的牧场上，10天把牧草吃光。 那么请问，把35头牛放牧在5英亩的牧场上，多少天能把牧草吃光? 关于面积单位，我们假定放牧前牧草的量和每天牧草生长的量相同。并且每头牛每天吃 的牧草的数量也相同。 (图略) 提示 虽然用单纯的比例计算就可以求出结果，但是牧草在被吃掉的同时也是生长的，所以不是那么简单哪。 解题 牧草是边吃边长的 设在1英亩牧场里放牧前所生长的牧草量为u、每天生长的牧草量为v、一头牛每天吃 的牧草量为w， 那么 2u+16×2v=16×9w ……① 3u+10×3v=10×18w ……② 根据①x3-②x2、36v=72w 所以 v=2w 代入算式①， u=40w 那么我们把所求的天数设为t 5u+tx5v=tx35w 把 v=2w、u=40w 代入算式 200w+10tw=35tw 所以 t=8天 答案 8天 小知识

万有引力的发明者、微积分的创始人牛顿，非常喜欢猫咪。为了让猫咪出入自由，牛顿 在家里到处开了好多通道口。 猫咪在生小猫的时候，牛顿高兴极了。他让男仆在猫妈妈的通道口旁边开一些小洞。男 仆不明白为什么开这些小的洞，牛顿非常认真地“是小猫的通道口呀”。 7、13 + 23 + 33 + …等于多少? 30分 问题 (算式省略) 那么，(算式省略)等于多少呢? 提示 请注意n的立方可以用n个连续奇数的和表示。(例如:3的立方是3个连续奇数7、9、11之 和) 解题 13 + 23 + 33 + …等于多少？ n的立方可以用n个连续奇数的和表示，也就是说 算式13 + 23 + 33 + …+n3是从1开始的(1+2+ … +n)个连续奇数的和。 因此，算式13 + 23 + 33 +43+53+63+73+83+93+103等于(由于1～10的和=55)从1开始的55个连续奇数的和。从1开始到第55个奇数是 2n-1=2×55-1 从1开始到第n个奇数之和是根据右图等于n的平方。 所以 (算式省略) (图略) 答案 3025 小知识

(算式省略) 所以，一般来说(1 +2 + …+n)2 =13+23+ …+n3

4、钟表的篇章 “钟表篇”的功能 钟表是智力题的代表道具。 看了雅孝司著的[令人爱不释手的直觉智力测验](中经出版)一书， 恐怕计算[两根表针一天重合几次]的人们总计也有几亿人吧? 如果是那样的话，我们也不能越过不提吧。这真是了不起的老调 新唱。 利用钟表所出的问题虽然不是很难，但是对刺激数字的感觉、逻辑性的思考能力、灵活 的想象力等却是个绝好的问题。 1、 所有的表都不准 5分 问题 在收音机报12点时，我确认了家里的表正确之后就出去散步了。 途中看见教会的大钟是12点14分。 到了目的地书店，那里的表是12点32分。 用8分钟买完东西，回来的路上教会的大钟是1点02分，到家的时候是1点14分。 由于来回走的速度都一样，所以，教会的大钟和书店的表好像都不准。 那么请问，教会的大钟和书店的表分别差几分钟呢? (图略) 提示 用往返时间来思考。 解题 所有的表都不准 从家到教会往返用了26分(14分+12分)。由于走的速度相同，本来应该是来去都应该各 用13分。

由于教会的大钟在去时用了14分，所以教会的大钟快1分钟(请确认一下回来时前 后是否符合) 从教会到书店往返用了40分(18+22)。由于走的速度相同，本来应该是来去都应该各用 20分。由于书店的表在去时用了18分，所以和教会的大钟比书店的表慢了2分。 由于教会的大钟快1分钟，所以我们得出书店的表比正确的时间慢1分。 请确认一下整个路程的前后是否符合。 (14分) (18分) 往 12:00------>12:14------>12:32 家 教会 书店 (图略) 返 13:14 (12分) (22分) 答案 教会的大钟:快1分钟 书店的表 :慢1分钟 2、停止的钟表 5分 问题 山上寺院里唯一的一个挂钟停了。 和尚到离寺院500多米远的施主家去问时间，回来后调整挂钟的时间几乎和正确的时间 相同。 那么请问，和尚是怎样来调整挂钟的时间的? (图略) 提示 停止的钟表 可不是你认为戴着手表那样天真的问题哟。 解题 停止的钟表 出门去邻居家时，给挂钟上满弦使之走动，计算来回路程所用的时间。

将其一半的时间加 在从施主家里所问的时间上，这样就调整好了寺院里挂钟的时间。 当然，要特别注意走路的方法，使往返时所用的时间相同。 3、表针在一天里重合几回? 15分 问题 钟表的长针和短针在一天的时间里重合几回呢?开始的0点不计算。 (图略) 提示 要计算最后的24点。 解题 表针在一天里重合几回? 长针在1分钟内走6度(360度除以60分)、短针在1分钟内走0.5度(360度除以12小时除 以60分)。我们设长针和短针重合一次后到再重合时需要n分，则有下列算式： 6n－360 = 0.5n 解算式为 (算式省略) 也就是说长针和短针重合一次后到再重合时的时间为1小时(算式省略)、可是不能说1 天24小时长针和短针就重合23次。开始的0点不计算、最后的24点计算。所以22回重合。 答案 22回 小知识

这是从室町末期后半到江户末期在民间使用表示时间用的。是报时的钟声次数成了时间 的叫法。日出前的微明叫明六、日落后的天快黑时叫暮六、把从明六到暮六白天的时间 和从暮六到明六夜晚的时间分别分成六等份、把一天的时间分成12刻。明六的下面 是五、四数字越来越小、可是突然又变成了九(正午)、然后又是八、七、暮六、五、四。为 什么不用从一到三的数字?真是不可理解的事。 4、长针和短针成一直线 15分 问题 从3点到4点之间短针和长针相互朝相反的方向走成一条直线时是几点几分? (图略) 提示 用怎样的算式表示短针和长针成一条直线是问题的关键。 解 长针和短针成一直线 长针在1分钟内走6度(360度除以60分)、短针在1分钟内走0。5度(360度除以12小时除 以60分)。 我们设在3点n分的时候短针和长针成一条直线(180度)长针从6n、短针从3点的位置 (由于单针在1小时转动30度、所以30度×3)转动0。5n。因此、等式 6n-(30×3+0.5n)=180 成立。

所以：(算式省略) 也就是3点49分5秒(将11分之1用十进法表示，换算成秒数约为5秒)。 答案 3点49分5秒的时候。 小知识 日出、日没的时间根据季节的变换而不同。如果把一天的时间分别分成六等份、分成 一二时刻的话，白天的一刻夏天长、冬天短(把像这样决定时刻的方法叫做不定时法)。 如果签订了夏天和冬天在同一时间内劳动的契约，夏天要比冬天的实际劳动时间多出 很多。虽然感到不合理，但是作为江户时期的人来说，夏天更容易耕作，所以好像还是很合 理的。 5、散步时间 15分 问题 12点过后出去散步去了。 出发时、回来时都看了时间，短针和长针正好交换了位置。请问，出去散步了几分钟? (图略) 提示 在1小时之间正好有短针和长针交换的时候。短针和长针交换位置，就是说两条针前进 的角度之和是360度。 解题 散步时间 长针在1分钟内走6度(360度除以60分)、短针在1分钟内走0.5度(360度除以12小时除 以60分)。 我们假设n分钟短针和长针交换位置的话，则有 0。

5n+6n=360 所以 (算式省略) 也就是约55分23秒。 (图略) 答案 55分23秒 小知识 《“刻不容缓”的一刻是几秒？》 为了在日常生活中应用不定时法，日本古代幕府的历学家沿用了古汉代的定时法，即将一天分为100刻。否则的话就难以维持正确的年历。 “刻不容缓”中的一刻，就是指的这一刻，是864秒（24小时 ×60分×60秒÷100）。 也就是一刻为12分24秒。 即便如此，好像还是不知道这到底是长还是短？