第四部分数学(与逻辑)
“数学是一门人们不了解讲的是什么以及不知道讲的是真是假的学问。” 伯特兰·罗素（BertrandRussell，1872～1970）：剑桥大学教授，一生致力于对逻辑学、数学和认识哲学进行理论思考。他也参与政治活动，在1914年，他是和平主义者，并倾向于人道的、自由的、政教分离的社会主义。他写出了大量著作，《意义与真理的探究》便是其中的一部。——原注将数学概念与逻辑概念联系起来，是哲学上的一贯做法。您觉得这样做有道理吗?逻辑是运用阐明了的并且视作已被接受了的规则来严密地展开推理的艺术。 数学是用其功能已通过实际经验表现出来了的符号将上述推理记述下来。这有点像中国的表意文字表示事物或概念的方式。 经验表明人们经常遇到无穷项之和，其中x是一个任意数： x0+x1/1+x2/1·2+x3/1·2·3+……+xn/1·2·3·n+…… 这时，用一个简单易写而且几乎不占什么地方的符号来表示这个和就方便多了。于是约定俗成地，这个符号为“ex”。
同样，在一个直角三角形中，人们常常要求一条直角边与斜边的长度之比，于是人们一般都把这个长度之比称为“sinusa”，其中a为这条直角边所对的角。 要揭开数学的神秘面纱，有必要看看想通过公式化来缩略推理记述的“懒人们”的发明。不过，这种公式化的活动只是一种简单的抄写活动，抄写人通过经验找到最好的办法来简化自身的工作。 相反，公理化要精妙得多，这种活动在于阐明人们在即将提出的推理过程中同意遵循的规则。 我们谈的离现实距离甚远。数学是纯粹抽象的，还是也扎根于现实之中呢? 对于这个问题，我想回答：两者兼而有之，我的上校。我可以通过创造“零”的经过来说明一下，这个奇特的数字奠定了整个算术的基础。 这边是三块石头，那边是三棵卷心菜。你能分清这两边吗？——当然能！我这边拿掉一块石头，那边拿掉一棵卷心菜。你能分清这两边吗？——当然能！我再拿第三次，看清楚了。你能分清这两边吗？——当然不能，什么都没有了。——好极了！
你已经承认，如果一个集合是空的，用数学家的话讲，也就是如果一个集合的基数是零，那么它与另一个空集没有区别，只有一个空集，更准确地说，我把空集集合的基数叫做“一”。于是我们便创造了数字“一”。然后，再创造接下去的数字，就是小孩子的把戏了。 在这个逐步的过程中，既有现实，像石头和卷心菜，又有抽象，像使用“无”来创立单一性，即单位“一”。同样，通过在沙地上画大圆和小圆，人们有一天发明了数字“π”，这个数字本身就是一个抽象的概念。换句话说，数学的内容都是一些概念的代表，都是一些严密运算的结果。但是它们不具有“自然性”，不是自然而来的。 这种严密性使数学历来是精确科学的典范，其他所有科学都在竭力仿效它。 “精确”一词运用在自然科学中，让人以为现实被完完全全、恰如其分地表示了出来，而情况从来不是这样。例如，当天文学家测量太阳与地球之间的距离时，他们得出的结果不可能是精确的。原因在于，这一距离，总是在变化，甚至根本就是不可确定的。人们得到的，永远只是近似值。 因此，恐怕不应该说“精确科学”，而应该说成“严密科学”，这其实是同义词叠用，因为不严密的就是不科学的。
如果您不同意使用“精确”一词，那您或许会接受“真”这个词。 我不认为数学家们会频繁使用“真”这个词，至少他们不是指与现实一致的意思。他们仅仅是确立了一些能够由彼推断出此的方法，在所有接受提出的逻辑规则的人中间创造了一种一致。从这个意义上讲，数学家们的推断是永恒的。 然而，引进新的概念可以开拓尚未探索的领域。这样，随着哥德尔定理的确立，不可判定领域加入真伪之间。 在您看来，过去和现在都有哪些最伟大的数学家？ 最伟大的，不是那些能最麻利地摆弄业已存在的工具的人，而是那些会发明新工具的人。因此，最伟大的数学家有：帕斯卡(概率推论)、伽罗瓦埃瓦里斯特·伽罗瓦（EvaristeGalois，1811～1832）：法国数学家。他对“群”在解代数方程中的作用进行了研究。他在21岁时死于决斗。决斗的前夜，他在给奥古斯特·谢瓦利埃（AugusteChevalier）的信中概述了自己的代数方程理论。“群”的概念在现代代数中占有非常重要的地位。——原注 (“群”的概念)、庞加莱(多个决定性因素混杂在一起的现象的不可预测论)、哥德尔(不可判定论)。
数学真理是普遍真理吗? 我们可以想像另外的逻辑规则，形成另外的数学。但是，我们几千年来已经接受的逻辑规则使我们能够如此严密逼真地描述宇宙中发生的现象，以至在无法企及的现实和用来接近现实的技术之间应该具有一定的一致性。 若一个人不“精通数学”，他就比别人笨吗? 数学是最容易理解的。除非有严重的精神疾病，不然的话，大家都应该是“精通数学”的。可是，由于只有心理学家大概才可能解释清楚的原因，某些年轻人认定自己数学不行。我认为其中主要的责任在于教授数学的方式。 我们自然不可能对任何东西都感兴趣，但数学更是一种思维的锻炼，不进行这项锻炼是很可惜的。不过，对诗歌或哲学，我们似乎也可以说同样的话。 不管怎样，根据学生数学上的能力来选拔“优等生”的不当做法对数学这门学科的教授是非常有害的。