第三章 21世纪里的牛顿力学

正是因为物体系统具有上述的运动定律，我们才把每个物体系统所对应存在的运动基准点称作该物体系统的质心。而所谓的系统质心，即意味作在不考虑该物体系统内部物体之间进行的相对运动状况下，可以从整体上把每个物体系统中诸物体的质量全部集中到该物体系统的质心位置上等效于以一个理想的质点进行的运动。下面的推导式子证明：

系统动能定理 每个物体系统中诸物体相对于在空间可以给定的某个惯性参照系所具有的系统总动能，等于一个质量为该物体系统中诸物体质量总和的质点处于该物体系统的质心位置上相对于同一惯性参照系所具有的动能（称之为该系统质心动能）与该物体系统中诸物体相对于原点建立在本系统质心上的参照系所具有的动能总和之和。即：E系统 ＝ E质心 ＋ E系统′。

在人们所研究的实际问题中，物体在地球表面上相对于地面的运动是人们遇到得最多的具体问题。按照系统运动力学中的惯性参照系传递定律，如果地球不存在转动，即在地球内部任意两点间的连线永远保持同一矢向，我们只要将建立在地球质心上的参照系平移到地球表面上，地球表面的物体相对于平移到地面上来的与地心保持相对静止的参照系将具有与相对于地心参照系完全相同的运动规律。但实际的地球却是在不停地绕着通过地心的一根空间轴转动着。人们在地面上建立的参照系不能保持与地心参照系一样的等效。考虑到地球表面物体的实际受力情况，人们在地球表面建立的参照系是这样来确定坐标轴方向的：以物体在地面受到的铅直作用力(由地球对其的吸引力与其绕地球自转轴转动所受到的向心力合成得到)方向作为参照系的一个坐标轴方向，再在垂直于该铅直方向水平面上根据需要确定出另外两个相对于地面保持不变的坐标轴方向。由于地面参照系的铅直坐标轴始终与地面物体在地心参照系中测定的地球对其的作用力方向同步保持在一条直线上，由原先静止在地面上或在水平面上与地面保持匀速运动的物体所组成的物体系统，其系统质心也与附近地面上的点在水平面上同步保持静止或匀速运动。

这些原先静止在地面或与地面在水平方向上保持匀速运动的物体由于受到组成系统内物体之间的相互作用而相对于建立在附近地面上的参照系在水平方向上具有推论1所述的运动规律。推论1也被称作经典牛顿力学中的动量守恒定律。而在铅直方向上，由于建立在地面上参照系原点与地心在铅直方向上始终保持相对静止(地球自转对重力方向的影响很小，故可近似认为铅直线通过地球质心)，地面上的物体相对于建立在附近的地面参照系在铅直方向上具有与相对于地心参照系在同一方向上完全一样的运动规律。再加之地球的直径比较大(平均为6370公里)，当人们在地面上运用牛顿力学定律来求解运动力学问题时，可以在有限的区域内获得相当精确的正确数据。

五、真实力与示值力之间存在的关系

我们先看一下只由两个质点组成的不完整物体系统时的情况。参见图6，质点mA与mB及其系统的质心O′相对于可以在空间给定的惯性参照系O中的位置分别用矢径rA 、rB与rO表示，而两质点相对于以本系统质心建立的非惯性系统参照系O′的位置分别用矢径 rA′→ 与rB′→ 表示。按照前面导出的式子将得到：

这表明，两质点相对于由二者组成的系统质心建立的系统参照系具有牛顿第三定律所给出的数学表示形式。而且用牛顿第二定律计算得出的作用力与反作用力,还可以用测力计测量出来。

参见图7，分别在两个质点与其组成的系统质心 O′之间挂上一只弹簧秤。由于大小相等，方向相反，当两质点之间挂入弹簧秤而使之处于相对静止的平衡状态时，弹簧秤上测出的数值与用牛顿第二定律计算得出的数值相等。但是，同时也应看到,图7中用弹簧秤测出的作用力 并不是两个质点在未加入弹簧秤时的实际受力。譬如，它们一个为铁质物体，一个为木质物体，当二者处在磁场中时，就只有铁质物体一个质点受到了该两质点系统外部的磁力作用。因此，人们有必要把相对于本系统质心参照系，按照人为规定的操作方式测定的作用力称为示值力。只有当所考察的物体系统是完整的物体系统或平衡系统之时，按照人为规定的操作方式测定的作用力才反映为被考察物体之间实际进行着的作用力。

对于由两个以上物体够成的物体系统，我们可以推导出如下的一般式子：

这说明，以完整物体系统的质心参照系为基准建立的系统运动力学，也可以适用于以不完整物体系统的质心参照系为基准的物体系统中。最重要的是：相对于不完整物体系统的质心参照系给出的能量计算公式完全反映真实的能量值，动量守恒定律与机械能守恒定律在不完整物体系统的质心参照系中具有与在惯性参照系里一样准确的数学表示形式。这样，任意指定的物体系统中诸物体相对于可以在空间给定的惯性参照系所具有的运动规律，即可由诸物体相对于本系统质心参照系所具有的运动规律与该系统质心相对于同一给定惯性参照系所具有的运动规律叠加得出。需要注意的是：在求解不完整物体系统中诸物体相对于本系统质心参照系所具有的运动规律时，所给出的作用力均是在本系统质心参照系中测定出来的经过代换后的示值力；而在求解系统质心相对于给定惯性参照系所具有运动规律时，除了系统质心是一个具有本系统中诸物体质量之总和的理想质点外，所给出的作用力均是在所给定惯性参照系中测定出来的真实力。我们现在从近代量子物理学中知道，力是物体间进行的能量交换过程。这显然是一个与参照系无关的作用过程。

为了区别起见，我们把物体间实际进行着的能量交换过程称为真实力，而把物体相对于某个系统质心参照系所测定的作用力称为示值力。示值力的测定按照如下理想实验来进行：沿着与每个物体相对于所组成的指定物体系统的质心参照系所具有的加速度方向相反的方向，分别用一只测量范围足够大、而其质量可忽略的理想测力计，将该物体系统中的全部物体同所组成系统的质心参照系连接起来，在保持与运动状态的瞬态位置相同的条件下处于相对静止之时，每个测力计所显示出的力量，便是对应连接物体在指定系统质心参照系中测定的示值受力。当所指定的物体系统是一个完整物体系统时，被观察物体相对于包括它在内的完整物体系统质心参照系所测定的作用力将反映为该物体系统中物体间实际存在着的相互作用。由于能量守衡定律与参照系无关，反映物体间进行的能量交换过程的牛顿第三定律是与给定参照系无关的力学定律。根据这个性质，我们可以按照独立作用原理通过实验的方式，先将两个物体间存在的真实力与两物体间的相对距离以及运动状态等相关的函数关系确定出来，然后再把它们作为已知条件来使用。

六、推广意义下的系统运动力学定律

动量守恒定律 在任意指定的物体系统中，诸物体相对于以本系统质心建立的系统参照系所具有的运动速度与其质量之乘积的总矢量和等于零。

相对稳定定律 在任意指定的物体系统中，当某个物体不受到在本系统质心参照系中测定的示值力作用或受到的示值力互相抵消平衡时，该物体与本系统质心保持相对静止或匀速度运动状态。

加速度定律 在任意指定的物体系统中，诸物体相对于本系统质心参照系所具有的加速度与其在本系统质心参照系中测定的示值力成正比，而与其具有的质量大小成反比。

示值力平衡定律 在任意指定的物体系统中，诸物体相对于本系统质心参照系所测定的示值受力的总矢量和等于零。

参照系传递定律 在任意指定的物体系统中，诸物体相对于与本系统质心保持匀速度运动的参照系具有以本系统质心参照系为基准时一样的相对稳定定律、加速度定律与示值力平衡定律。

质心动量定律 任意指定的物体系统，其质心相对于空间某个可以给定的参照系所具有的速度与该系统中诸物体质量总和的乘积等于该系统中诸物体相对于同一给定参照系所具有的运动速度与其质量之乘积的总矢量和。

质心加速度定律 任意指定的物体系统，其质心相对于空间某个可以给定的参照系所具有的加速度与该系统中诸物体在同一给定参照系中测定的示值受力之总矢量和成正比，而与该系统中诸物体质量的总和成反比。

注意要点：当人们在空间给出的参照系是建立在不完整物体系统的质心上时，该参照系属于非惯性参照系。此时人们只要用在该参照系中按照规定的可操作程序定义的示值力概念代替被观察物体间实际存在着的相互作用力，就可以在形式上继续应用在惯性参照系中才真正成立的运动力学定律。但对于在空间任意给出的没有保证物体的非惯性参照系来说，它们实际上属于中介转换性质的参照系。此时如果假定在系统质心参照系上才可以按照规定的可操作程序进行理想力学实验检测得到的示值受力也可以在没有保证物体的非惯性参照系中进行检测，即把示值力概念扩展到任意给出的非惯性参照系中，在惯性参照系中才真正成立的运动力学定律从形式上也可以继续在这些任意给出的非惯性参照系中应用。但同时必须记住：我们对示值力概念进行扩展处理只是为了方便人们容易记忆"系统运动力学"中的定律！

人们在实际的运用中，永远都必须把原点建立在完整物体系统质心上的惯性参照系作为观察分析物体进行的相对运动的起始基准工具。

由于系统运动力学必须把参照系建立在系统质心上，而系统质心又要由系统中全体物体来共同决定，如果要准确地按照系统运动力学来求解系统中某个物体相对于本系统质心参照系的所在位置随时间的变化规律，就必须同时把系统中全体物体相对于系统质心参照系的运动规律一道进行考虑才能求解出正确的结果。因此系统运动力学对一般的物体系统只有整体上的指导分析意义。但是，如果在所指定的物体系统中存在着一个质量相对极大的物体使得该系统的质心与该物体的质心基本保持重合，系统运动力学就具有非常良好的实用价值了。譬如，在地球及其表面附近的小物体所组成的物体系统中，由于地球的质量相对极大极大，当人们在地球质心建立起研究其它质量相对很小的物体相对于该参照系所具有的运动规律时，按照系统运动力学进行的计算就很接近真实的作用结果。

七、一般形式下的牛顿第二定理

在空间指定的任一物体，相对于在空间给定的任一参照系所具有的运动加速度，正比于该物体在同一给定参照系中测定的示值受力，反比于该物体本身所具有的惯性质量大小。

采用数学归纳法证明如下：首先，空间的任一物体m总可以与空间存在的其它某个物体组成一个物体系统，当我们将参照系建立在该组成物体系统的质心上时，该指定物体相对于该参照系具有牛顿第二定律所描述的运动速度改变规律。所以，对于在空间任一指定的物体，都至少存在一个可以确定的空间参照系k，使得该物体相对于它具有牛顿第二定律所描述的运动速度改变规律。

既然空间的任一物体m相对于在空间给定的某个可确定的K参照系具有牛顿第二定律所描述的运动速度改变规律，则物体m相对于该参照系所具有的加速度与其在同一参照系中测定的示值受力满足关系式 。现在空间任意给定另一个参照系，令为 k′参照系，k′参照系相对于k参照系以加速度运动着。根据矢量的合成规则，物体m相加于k′参加系具有的加速度满足关系式:

它表明物体m相对在空间任意给定的另一个参照系也具有牛顿第二定律所描述的运动速度改变规律。[证毕]从形式上来看，牛顿第二定理可以适用于在空间任意给定的一切参照系，而只要我们牢牢地记住：任意物体相对于某个任意给定的参照系所具有的加速度是与该物体在同一给定参照系里测定的示值受力成正比。与此同时，人们也必须清楚地认识到：一般形式下的牛顿第二定理是建立在系统运动学的运动定律基础之上的推广形式，因此它必须收敛于系统运动力学的运动定律。换句话说，人们在空间实际给定的参照系决不能脱离空间实际存在的群体物体的相互作用情况而进行随意地虚构。根据最基本的分析思路，如果我们在空间任意给定的参照系本身都没有保持其存在的前提条件，我们也就不能用力学实验来测定某个物体在这个虚构的参照系中的示值受力情况，此时用一般形式下的牛顿第二定理公式计算出来的作用力就只有形式上的表示意义而不具有任何实际的物理意义。

不仅如此，如果在空间给定的参照系本身的运动状态还会随着被观察物体的运动状态改变而发生变化，我们也不能用力学实验测定出相对于该参照系处于非静止状态中的运动物体在该参照系中的示值受力情况，此时按照一般形式下的牛顿第二定理公式计算出来的作用力将由于不具有可检测性质而失去意义。因此，人们在空间给定的参照系都必须满足如下两个必要条件：1. 给定参照系必须有确定其实际存在的保证物体；2. 被观察物体的运动无论发生什么变化，给定参照系的运动状态都不会受其影响。

根据这两个必要的前提条件可以推知：人们在空间给出的能够使在空间客观存在的某个指定物体，相对于它既具有牛顿第二定理所描述的运动速度改变规律，又能够用力学实验对计算结果进行检验的空间参照系，必定是建立在包括该指定物体在内的某个指定物体系统的质心上的系统质心参照系。此时用牛顿第二定理公式计算出来的作用力，可按照如下理想力学实验进行测定：沿着与每个物体相对于所组成物体系统的质心参照系所具有的加速度方向相反的方向，分别用一只测量范围足够大、而其质量可忽略的理想测力计将指定物体系统中的全体物体同组成物体系统的质心参照系连接起来，在保持与运动状态的瞬态位置相同的情况下处于相对静止之中时，每个测力计所显示的数值便是对应连接物体在给定系统质心参照系中测定的示值受力。如果在指物体系统中存在着一个质量相对极大的物体，上述实验就可以简化为测定被观察物体相对于该极大物体的示值受力。

八、系统运动力学公式的使用条件

作为一个完整的理论体系，人们必须知道"系统运动力学"中的数学表达式子能够在什么范围内可以正确地应用和在应用时应该受到什么样的数学条件所限制。现代的研究结果证明：质量与能量是同一回事，质量只不过是人们根据实物的惯性大小或万有引力作用大小，对实物形式的能量集合体进行的另外一种计量单位的测定结果。因此在质量m的计量单位与能量E的计量单位之间，人们可以通过一个"质能转换系数"K将它们表示成：E = Km 。为了便于说明，我们把物体在运动速度不为零之时的瞬态质量称作"动质量"，而把物体在静止状态时的质量称作"静质量"。当我们用E表示物体m相对于包括它在内的某个完整物体系统的系统质心参照系以速度V→ 运动时所对应具有的惯性能量，用ε表示该物体相对于同一惯性参照系所具有的动能时，显然有：

这意味着任何静止质量大于零的物体相对于在空间实际可以给出的系统质心参照系所具的运动速度永远小于C。而物体获得的动能ε则可从如下式子计算得到：

这说明物体的运动速度远远小于光速时，它的瞬态质量近似等于静止状态下测定的静止质量。下面我们继续推导物体系统的总动量关系表达式。

它说明：当物体相对于包括它在内的某个完整物体系统的系统质心参照系所具的运动速度变化量足够大时，原先给出的运动力学定律就不再准确地成立了。地面上的物体相对于地面参照系所具有的加速度a ≤ 105 g ＝ 106 米/ 秒2 、 矢径r ＜ 108米 ， 通常都不大于1014米2/秒2，而其具有的运动速率也不大于 104米/秒， 故此 。在这样的限定条件下，上述的系统总动量关系式子则可近似地写成：

请注意：我们在上述的公式推导过程中，已经采用了物体的瞬态动质量。根据所得到的数学推导结果表明，当物体相对于包括它在内的某个完整物体系统的系统质心参照系所具的运动速度变化量不是足够大时，系统运动力学定律就可以准确地成立。尤其是在被考察物体的运动速度都远远的小于光速的条件下，系统运动力学定律的数学表达公式将能够很精确地成立。

九、实际应用中的注意点

从理论上讲，在我们选定了某个用来观察、描述各个物体相对于它所进行的相对运动的惯性参照系统后，诸物体相对于给定参照系的运动规律都可以惟一地给定出来。然而，在实际遇到的问题中，某些物体的运动方程由于受到观察上的限制，并不能直接表示出来。此时我们就可能需要引入非惯性运动物体来建立一个过渡性的中介观察参照系，用来帮助我们分析具体物体的运动规律。

在惯性参照系中，凡是受到合力为 作用的物体都要以相应的加速度 改变着自己的运动速度。根据力的等效代换规则，每个物体的运动加速度都可以等效为某个预定的公共加速度与另一个可惟一确定的加速度之矢量和。当我们在给定的惯性参照系中选定某个非惯性运动物体作为中介观察物并以它建立起中介观察参照系时，各物体相对于原始给定的惯性参照系所具有的加速度 就等效于各个物体相对于中介观察系所具有的加速度 与中介观察参照系相对于原始给定的惯性参照系所具有的加速度之矢量和。在牛顿力学中，- 被称做惯性力，并且认为只要在非惯性系中加上惯性力，力学定律就可以在非惯性系中适用。显然，这种说法是一个历史性的误解。我们现在应该把由于引入非惯性参照系而在运动方程表达式中出现的增加项 - 正名为中介转换力。同时，我们应该澄清楚：惯性力是具有一定质量的物体在受到其它物体的作用而改变自己的运动速度时企图阻止自己的运动速度改变的反抗作用。而与我们所定义的物体间的相互作用不同，惯性力是类似于电子学里的自感电动势那样的概念。人们并没有把通过电感线圈的电流发生改变时产生的自感电动势认为是虚构的物理量。同样，惯性力也不是虚构出来的概念。

无论我们是否引入了非惯性参照系，也不管我们是否喜欢，惯性力作为运动的一个特性都存在于自然世界中。至于惯性力这个名称取得是否适当，人们需要从历史的角度去进行考虑。但是有一点可以肯定，那就是具体的名称叫做什么并不重要，重要的是我们必须准确地知道它的本质含义。

鉴于实用的非惯性参照系是人们基于已经给定的惯性参照系而选择来，用于观察、研究某些不易直接确定其运动参数的物体运动现象的过渡性中介观察参照系。人们在非惯性参照系中进行的所有数学公式推导，都必须收敛于给定惯性参照系中的运动学定律。为此，人们在运用它来求解运动学问题时必须把握好如下几个要点：1. 在选定非惯性参照系时，应说明已经给定的惯性参照系是谁，不加说明时约定地面作为已经给定的惯性参照系。 同时在选定的非惯性参照系坐标原点，标明该非惯性参照系相对于给定惯性系所具有的加速度方向。

2. 在作某个物体相对于非惯性参照系的受力图时，应在其旁边画出所选定的非惯性参照系，同时在物体受力图上标出中介转换力 - ，负号表示其方向与非惯性参照系的加速度方向相反。

3. 在作出某个物体相对于非惯性参照系的具体受力图时，除中介转换力是相应于非惯性参照系而加上去的非真实力外，其它所有的真实受力均与其在给定惯性参照系中的受力状况完全相同。

4. 在列出某个物体相对于非惯性参照系的运动方程时，应注意物体"获得"的加速度是该物体相对于非惯性参照系的运动加速度。非惯性参照系的坐标轴可以与给定惯性参照系的坐标轴不平行。但请注意所有的受力，包括中介转换力，以及物体间相对运动的加速度都是准确的空间矢量，其方向保持原样，不随坐标系轴的转动而改变。

【应用实例】

参见图8，一个底长为L，质量为M，其斜面与底面的夹角为θ的光滑三角劈静止摆放在水平面上，一个质量为m的质点从光滑劈斜面的顶点处从静止起始沿光滑劈斜面自由滑下。不计任何摩擦，求光滑劈在水平方向上获得的水平加速度。

在这个实际例子中，地面是惯性参照系。由于很难直接用它对三角劈斜面上滑下的质点做出运动分析。我们在光滑劈斜面上建立一个中介观察参照系，从而分别作得光滑劈与质点的受力图如图9 、图10所示。

根据光滑劈受力图，可列得光滑劈运动方程如下：

程稳平1990年5月一稿1999年4月二稿